Question

若函数y=f（x）存在反函数y=f^-1（x），由函数y=f（x）确定数列{a_n}，a_n=f（n），由函数y=f^-1（x）确定数列{b_n}，bn=f^-1（n），则称数列{b_n}是数列{a_n}的“反数列”．
（1）若数列{b_n}是函数f（x）=确定数列{a_n}的反数列，试求数列{b_n}的前n项和S_n；
（2）若函数f（x）=2确定数列{c_n}的反数列为{d_n}，求{d_n}的通项公式；
（3）对（2）题中的{d_n}，不等式log（1-2a）对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）由f（x）=，知f-1（x）=2x-1，所以bn=2n-1，由此能求出Sn．
（2）由f（x）=2，知，由此能求出{dn}的通项公式．
（3）记+…+，得，故Tn+1-Tn=＞0，由此能求出实数a的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）=，
∴f-1（x）=2x-1，
所以bn=2n-1，
Sn=2（1+2+3+…+n）-n
=2×-n=n2．（4分）
（2）∵f（x）=2，∴，
所以dn=．
（3）记+…+，
得，
Tn+1-Tn=＞0，
所以{Tn}递增，故（Tn）min=T1=1．
由已知得，，
解得0＜a＜，
∴实数a的取值范围是（0，）．