Question

某民营企业从事M国某品牌运动鞋的加工业务，按照国际惯例以美元结算．依据以往的加工生产数据统计分析，若加工订单的金额为x万美元，可获得的加工费的近似值为万美元．2011年以来，受美联储货币政策的影响，美元持续贬值．由于从生产订单签约到成品交付要经历一段时间，收益将因美元贬值而损失mx美元（其中m是该时段的美元贬值指数，且0＜m＜1），从而实际所得的加工费为万美元．
（1）若某时段的美元贬值指数，为了确保企业实际所得加工费随x的增加而增加，该企业加工产品订单的金额x应该控制在什么范围内？
（2）若该企业加工产品订单的金额为x万美元时共需要的生产成本为万美元．已知该企业的生产能力为x∈[10，20]，试问美元贬值指数m在何范围内时，该企业加工生产不会出现亏损？（已知）．

Answer

（1）根据知，，可得函数解析式，利用导数大于0，即可得到结论；
（2）设企业加工生产不出现亏损，则当x∈[10，20]时，都有，即10ln（2x+1）-（20m+1）x≥0，求出左边对应函数的最小值，即可确定贬值指数m的范围．
【解析】
（1）由已知，，∴
∴
由f'（x）＞0⇒199-2x＞0，解得0＜x＜99.5
即加工产品订单金额x∈（0，99.5）（单位：万美元），该企业的加工费随x的增加而增加．
（2）依题意，设企业加工生产不出现亏损，则当x∈[10，20]时，都有，
即10ln（2x+1）-（20m+1）x≥0，
设g（x）=10ln（2x+1）-（20m+1）x，则
令g（x）=0，则
∵
∴g（x）在[10，20]上是减函数
所以，g（x）min=g（20）=10ln41-20（20m+1）≥0，∴m≤，又m＞0，
所以，m∈（0，]时，该企业加工生产不会亏损．