Question

设函数f（x）的图象是由函数的图象经下列两个步骤变换得到：
（1）将函数g（x）的图象向右平移个单位，并将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数h（x）的图象；
（2）将函数h（x）的图象上各点的纵坐标缩短为原来的倍（横坐标不变），并将图象向上平移1个单位，得到函数f（x）的图象．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）判断方程f（x）=x的实根的个数，证明你的结论；
（Ⅲ）设数列{a_n}满足a₁=0，a_n+1=f（a_n），试探究数列{a_n}的单调性，并加以证明．

Answer

（Ⅰ）利用二倍角三角函数公式，将g（x）化简整理得g（x）=，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的规律，结合题意可得变换后的f（x）的表达式；
（II）令F（x）=f（x）-x=msinx-x+1，通过计算F（0）和F（），结合零点存在性定理，得F（x）=0在至少有一个根，再根据导数讨论F（x）的单调性，得F（x）在R上单调递减，即可得到方程f（x）=x有且只有一个实根．
（III）根据f（x）表达式，计算a1=0，a2=1＞a1，a3=msin1+1＞a2．由此猜测an＞an-1（n≥2），即数列{an}是单调递增数列．再用数学归纳法进行证明，可得猜想的结论成立，即数列{an}是单调递增函数．
【解析】
（Ⅰ）…（2分）
=…（3分）
∴函数g（x）的图象向右平移个单位，得g（x+）=sin2x，
再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得h（x）=sinx，…（4分）
再将函数h（x）的图象上各点的纵坐标缩短为原来的倍（横坐标不变），
并将图象向上平移1个单位，得f（x）=msinx+1．…（5分）
（Ⅱ）方程f（x）=x有且只有一个实根．…（6分）
理由如下：
由（Ⅰ）知f（x）=msinx+1，令F（x）=f（x）-x=msinx-x+1，
因为F（0）=1＞0，结合，得．
所以F（x）=0在至少有一个根．…（7分）
又因为，
所以函数F（x）在R上单调递减，
因此函数F（x）在R上有且只有一个零点，即方程f（x）=x有且只有一个实根．…（9分）
（Ⅲ）因为a1=0，an+1=f（an）=msinan+1，所以a2=1＞a1，
又a3=msin1+1，因为，所以0＜sin1＜1，所以a3＞1=a2．
由此猜测an＞an-1（n≥2），即数列{an}是单调递增数列．…（11分）
以下用数学归纳法证明：n∈N，且n≥2时，an＞an-1≥0成立．
（1）当n=2时，a2=1，a1=0，显然有a2＞a1≥0成立．
（2）假设n=k（k≥2）时，命题成立，即ak＞ak-1≥0（k≥2）．…（12分）
则n=k+1时，ak+1=f（ak）=msinak+1，
因为，所以．
又sinx在上单调递增，，
所以sinak＞sinak-1≥0，所以msinak+1＞msinak-1+1，
即sinak+1＞msinak-1+1=f（ak-1）=ak≥0，
即n=k+1时，命题成立．…（13分）
综合（1），（2），n∈N，且n≥2时，an＞an-1成立．
故数列{an}为单调递增数列．…（14分）