Question

过点M（2，-2p）作抛物线x²=2py（p＞0）的两条切线，切点分别为A、B，若线段AB中点的纵坐标为6，则抛物线的方程为    ．

Answer

设过点M的抛物线的切线方程与抛物线的方程联立，利用方程的判别式等于0，再利用韦达定理，结合线段AB中点的纵坐标为6，可求抛物线的方程．
【解析】
设过点M的抛物线的切线方程为：y+2p=k（x-2）与抛物线的方程联立消y得：x2-2pkx+4pk+4p2=0
此方程的判别式等于0，∴pk2-4k-4p2=0
设切线的斜率分别为k1，k2，则k1+k2=
此时x=pk，∴y=
设A（x1，y1），B（x2，y2），则12=y1+y2=2（k1+k2）+4p=
∴p2-3p+2=0
∴p=1或p=2
∴所求抛物线的方程为x2=2y或x2=4y
故答案为：x2=2y或x2=4y．