Question

点P为圆O：x²+y²=a²（a＞0）上一动点，PD⊥x轴于D点，记线段PD的中点M的运动轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（II）若动直线l与曲线C交于A、B两点，当△OAB（O是坐标原点）面积取得最大值，且最大值为1时，求a的值．

Answer

（Ⅰ）确定P，M坐标之间的关系，利用P是圆上的动点，代入x2+y2=a2，即可得曲线C的方程；
（Ⅱ）分类讨论：①当l斜率不存在时，可得S△OAB最大值为；②当l斜率存在时，表示出三角形的面积，利用基本不等式，可得S△OAB的最大值为，由已知得，从而可求a的值．
【解析】
（Ⅰ）设P（x，y），M（x，y），由，得，…（2分）
代入x2+y2=a2，得 ．…（4分）
（Ⅱ）①当l斜率不存在时，设x=t，由已知得-a＜t＜a，
由，得
所以，
当且仅当t2=a2-t2，即时，等号成立．
此时S△OAB最大值为．…（5分）
②当l斜率存在时，设其方程为y=kx+m，
由，消去y整理得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-a2=0，
△=（8km）2-4（4k2+1）（4m2-a2）=4[4k2+a2-4m2]
由△＞0，得4k2a2+a2-4m2＞0①
设A（x1，y1），B（x2，y2），则  ②…（7分）
③
原点到直线l距离为 ，④…（9分）
由面积公式及③④得…（11分）
综合①②，S△OAB的最大值为，由已知得，所以 a=2．…（12分）