Question

如图，椭圆经过点（0，1），离心率．
（l）求椭圆C的方程；
（2）设直线x=my+1与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A′（A′与B不重合），则直线A′B与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

Answer

（1）把点（0，1）代入椭圆方程求得a和b的关系，利用离心率求得a和c的关系，进而联立方程求得a和b，则椭圆的方程可得
（2）把直线方程与椭圆方程联立消去y，设出A，B的坐标，则A′的坐标可推断出，利用韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而可表示出A′B的直线方程，把y=0代入求得x的表达式，把x1=my1+1，x2=my2+1代入求得x=4，进而可推断出直线A′B与x轴交于定点（4，0）．
【解析】
（1）依题意可得，解得a=2，b=1．
所以，椭圆C的方程是；
（2）由
得（my+1）2+4y2=4，即（m2+4）y2+2my-3=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则A′（x1，-y1）．
且．
经过点A′（x1，-y1），
B（x2，y2）的直线方程为．
令y=0，则
又∵x1=my1+1，x2=my2+1．∴当y=0时，
这说明，直线A′B与x轴交于定点（4，0）．