Question

计算机内部都以二进制字符表示信息．若u=（a₁，a₂，…，a_n），其中a_i=0或1（i=1，2，…，n），则称u是长度为n的字节；设u=（a₁，a₂，…，a_n），v=（b₁，b₂，…，b_n），用d（u，v）表示满足a_i≠b_i（i=1，2，…，n）的i的个数．如u=（0，0，0，1），v=（1，0，0，1），则d（u，v）=1．现给出以下三个命题：
①若u=（a₁，a₂，…，a_n），v=（b₁，b₂，…，b_n），则0≤d（u，v）≤n；
②对于给定的长度为n的字节u，满足d（u，v）=n-1的长度为n的字节v共有n-1个；
③对于任意的长度都为n的字节u，v，w，恒有d（u，v）≤d（w，u）+d（w，v）．
则其中真命题的序号是（ ）
A．①
B．①②
C．①③
D．②③

Answer

先理解d（u，v）表示满足ai≠bi（i=1，2，…，n）的i的个数，可转化为：当|ai-bi|=0时，表示 ai与bi相同；而当|ai-bi|=1时，表示 ai与bi不相同，进而解出本题．
【解析】
①我们知道：u=（a1，a2，…，an）与v=（b1，b2，…，bn）中，ai与bi（1≤i≤n）可都不相同，亦可都相同，
故0≤d（u，v）≤n，因此①正确；
②设若u=（a1，a2，…，an），其中ai=0或1（i=1，2，…，n），令v=（b1，b2，…，bn），其中bi=0或1（i=1，2，…，n），
我们知道：当|ai-bi|=0时，表示 ai与bi相同；而当|ai-bi|=1时，表示 ai与bi不相同．
已知v满足d（u，v）=n-1，表示|ai-bi|=1中的i的个数为n-1，而|ai-bi|=0中i的个数为1，
故适合条件的v的个数为n，因此②不正确．
③设u=（a1，a2，…，an），v=（b1，b2，…，bn），w=（c1，c2，…，cn），
d（u，v）=h，d（w，u）=k，d（w，v）=m．
由d（w，u）=k表示|ai-ci|=1中i的个数为k；由d（w，v）=m表示|bi-ci|=1中i的个数为m；
由d（u，v）=h表示|ai-bi|=1中i的个数为h．
设t是使|ai-ci|=|bi-ci|=0成立的i的个数，可验证无论ci=0，还是ci=1，
则都有||ai-ci|-|bi-ci||=|ai-bi|=0，
∴h=k+m-2t，∴h≤k+m．
因此对于任意的长度都为n的字节u，v，w，恒有d（u，v）≤d（w，u）+d（w，v）．所以③正确．
故选C．