Question

如图，设AB、A′B′分别是圆O：x²+y²=a²和椭圆的弦，端点A与A′、B与B′的横坐标分别相等，纵坐标分别同号．
（Ⅰ）若椭圆C的短轴长为2，离心率为，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若弦AB过定点，试探究弦A′B′是否也必过某个定点．

Answer

（Ⅰ）根据椭圆C的短轴长为2，离心率为，求出几何量，即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）解法一：利用点A在圆O上，点A′在椭圆C上，确定A′，B′的纵坐标，利用弦AB过定点，确定直线A′B′的方程，从而可得弦A′B′必过定点；
解法二：根据圆O上的每一点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍可得到椭圆C，端点A与A′、B与B′的横坐标分别相等，纵坐标分别同号，由弦AB过定点，猜想弦A′B′过定点，进一步可证得结论．
【解析】
（Ⅰ）由题意得，b=1，，…（2分）
解得：a2=4，所以椭圆C的方程为：．…（4分）
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得：圆O的方程为：x2+y2=4．…（5分）
设A（x1，y1）、B（x2，y2）、A′（x1，m）、B′（x2，n），
∵点A在圆O上，∴，…①
∵点A′在椭圆C上，∴，…②
联立方程①②解得：，同理解得：．
∴、．…（8分）
∵弦AB过定点，
∴x1≠x2且kAM=kBM，即，
化简得…（10分）
直线A′B′的方程为：，即，
由得直线A′B′的方程为：，
∴弦A′B′必过定点．…（12分）
解法二：由（Ⅰ）得：圆O的方程为：x2+y2=4．…（5分）
设A（x1，y1）、B（x2，y2），
∵圆O上的每一点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍可得到椭圆C，
又端点A与A′、B与B′的横坐标分别相等，纵坐标分别同号，
∴、．…（8分）
由弦AB过定点，猜想弦A′B′过定点．…（9分）
∵弦AB过定点，
∴x1≠x2且kAM=kBM，即…①…（10分）
，，
由①得=，
∴弦A′B′必过定点．…（12分）