Question

已知数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，数列{S_n+1}是公比为2的等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{S_n}中是否存在不同的三项S_m，S_n，S_k，使得S_m，S_n，S_k为等差数列？若存在，请求出满足条件的一组m，n，k的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）根据数列{Sn+1}是公比为2的等比数列，可得，再写一式，两式相减，即可求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）数列{Sn}中不存在不同的三项Sm，Sn，Sk，使得Sm，Sn，Sk为等差数列，利用反证法进行证明，可得2n+1-m=1+2k-m，由m＜n＜k知，上式左边为偶数，右边为奇数，不可能相等，故可得结论．
【解析】
（I）S1=a1=1，S1+1=a1+1=2．
因为数列{Sn+1}是公比为2的等比数列，所以．
故．…（3分）
当n≥2时，，
当n=1时，经检验，也成立，
故．…（6分）
（Ⅱ）数列{Sn}中不存在不同的三项Sm，Sn，Sk，使得Sm，Sn，Sk为等差数列．…（7分）
理由如下：假设{Sn}中存在等差数列Sm，Sn，Sk，不失一般性，不妨设Sm＜Sn＜Sk，即m＜n＜k，
则2Sn=Sm+Sk，…（9分）
由（I），．
故2•2n-2=2m-1+2k-1，即2n+1=2m+2k，即2n+1-m=1+2k-m，
由m＜n＜k知，上式左边为偶数，右边为奇数，不可能相等．…（11分）
故假设错误，从而数列{Sn}中不存在不同的三项Sm，Sn，Sk，使得Sm，Sn，Sk为等差数列．…（12分）