Question

已知函数的图象与x轴相切于点S（s，0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象与过坐标原点O的直线l相切于点T（t，f（t）），且f（t）≠0，证明：1＜t＜e；（注：e是自然对数的底）
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记直线ST的倾斜角为α，试证明：．

Answer

（Ⅰ）求导数，利用函数的图象与x轴相切于点S（s，0），建立方程，即可求得函数的解析式；
（Ⅱ）先确定直线l的方程为：，利用T在直线l上，可得实数t必为方程，构造函数，确定函数的单调性，从而可得是方程在区间内的唯一一个解，由此可证结论；
（Ⅲ）先证明，利用y=tanx在单调递增，即可证得结论．
（Ⅰ）【解析】
由，得．…（1分）
∵函数的图象与x轴相切于点S（s，0），
∴，…①且f（s）=…．②…（2分）
联立①②得c=e，．…（3分）
∴．…（4分）
（Ⅱ）证明：．
∵函数的图象与直线l相切于点T（t，f（t）），直线l过坐标原点O，
∴直线l的方程为：，
又∵T在直线l上，∴实数t必为方程…．③的解．…（5分）
令，则，
解g′（t）＞0得，g′（t）＜0得．
∴函数y=g（t）在递减，在递增．…（7分）
∵，且函数y=g（t）在递减，
∴是方程在区间内的唯一一个解，
又∵，∴不合题意，即．…（8分）
∵g（1）=2-e＜0，，函数y=g（t）在递增，
∴必有1＜t＜e．…（9分）
（Ⅲ）证明：∵T（t，f（t）），
∴，
由③得，…（10分）
∵t＞0，且0≤α＜π，∴．
∵1＜t＜e，∴，…（11分）
∵，，…（13分）
∴，
∵y=tanx在单调递增，∴．…（14分）