Question

定义：已知函数f（x）与g（x），若存在一条直线y=kx+b，使得对公共定义域内的任意实数均满足f（x）≤g（x）≤kx+b恒成立，其中等号在公共点处成立，则称直线y=kx+b为曲线f（x）与g（x）的“左同旁切线”．已知f（x）=lnx，g（x）=1-．
（1）试探求f（x）与g（x）是否存在“左同旁切线”，若存在，请求出左同旁切线方程；若不存在，请说明理由．
（2）设P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂））是函数f（x）图象上任意两点，0＜x₁＜x₂，且存在实数x₃＞0，使得f（x₃）=，证明：x₁＜x₃＜x₂．

Answer

（1）由题意知f（x）与g（x）有公共点，确定在公共点处的切线方程为y=x-1，再证y=x-1就是左同旁切线方程，即证1-≤lnx≤x-1（x＞0）；
（2）利用反证法进行证明，令x3≤x1，则，从而可得＜，由此得证．
【解析】
（1）由题意知f（x）与g（x）有公共点，令其为（x，y），则f（x）=f（x），f'（x）=g'（x），即，解得x=1，y=1．
所以在公共点处的切线方程为y=x-1．
下证y=x-1就是左同旁切线方程，即证1-≤lnx≤x-1（x＞0）．
先构造函数h（x）=lnx-x+1（x＞0），则h'（x）=-1=，
令h'（x）＞0可得0＜x＜1，h'（x）＜0可得x＜0或x＞1，
∴函数在x=1处h（x）取得最大值h（1）=0，所以lnx-x+1≤0，即lnx≤x-1（x＞0）．（4分）
再构造函数φ（x）=lnx-1+（x＞0），则φ′（x）=，
令φ'（x）＞0可得x＞1，φ'（x）＜0可得x＜1，
∴在x=1处φ（x）取得最小值φ（1）=0，所以lnx-1+≥0，即lnx≥1-（x＞0）．
故对任意x∈（0，+∞），恒有1-≤lnx≤x-1（x＞0）成立，即y=x-1就是左同旁切线方程．（6分）
（2）因为f′（x）=，所以f′（x3）===，所以．
令x3≤x1，则，
∴＜，
显然自相矛盾，故x1＜x3；同理可证x3＜x2．
故x1＜x3＜x2．（12分）