Question

数列{a_n}的前n项和S_n=npa_n（n∈N^*），并且a₁≠a₂．
（I）求P的值；
（II）作函数f（x）=a₂x²+a₃x²+…+a_n+1xⁿ，如果S₁₀=45，证明：，f（）＜．

Answer

（I）由Sn=npan（n∈N*），得到a1=0，a2≠0，由此能求出p．
（II）由，，知，由此导出f（）=，再由错位相减法能够证明f（）．
【解析】
（I）∵Sn=npan（n∈N*），
∴a1=S1=pa1，若a1≠0，则p=1，
由a1+a2=S2=2pa2，
得a1=a2，矛盾，故a1=0，a2≠0，
∵a1+a2=S2=2pa2，
∴p=．
（II）∵，，
∴，
（n-1）an+1=nan，
当k≥2时，，
∴n≥3时，有=（n-1）a2，
∴对一切n∈N*，有an=（n-1）a2，
∵45=S10=10××a10=45a2，
∴a2=1，an=n-1（n∈N*），
故f（x）=x+2x2+…+nxn，
∴f（）=，
，
∴，
∴f（）=，
故f（）．