Question

在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=2，E为AD中点，F为CC₁中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥D₁F；
（Ⅱ）求证：CE∥平面AD₁F；
（Ⅲ） 求平面AD₁F与底面ABCD所成二面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）先证明AD⊥CD，AD⊥DD1，可得AD⊥平面CDD1C1，从而可得AD⊥D1F；
（Ⅱ）连接A1D，交AD1于点M，连接ME，MF，则M为AD1中点，利用三角形中位线性质，可得线线平行，可得四边形CEMF是平行四边形，从而可得CE∥MF，利用线面平行的判定，可得CE∥平面AD1F；
（Ⅲ）建立空间直角坐标系，确定平面ABCD的法向量为，平面AD1F的法向量=（2，1，1），利用向量的夹角公式，即可求得平面AD1F与底面ABCD所成二面角的余弦值．
（Ⅰ）证明：在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中
∵四边形ABCD是正方形，∴AD⊥CD
∵DD1⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD
∴AD⊥DD1
∵DD1∩CD=D，∴AD⊥平面CDD1C1
∵D1F⊂平面CDD1C1，∴AD⊥D1F…（4分）
（Ⅱ）证明：在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，连接A1D，交AD1于点M，连接ME，MF，则M为AD1中点．
∵E为AD中点，F为CC1中点．
∴…（6分）
又∵
∴四边形CEMF是平行四边形，∴CE∥MF…（8分）
∵CE⊄平面AD1F，MF⊂平面AD1F，∴CE∥平面AD1F．…（9分）
（Ⅲ）【解析】
以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图．
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，2），F（0，1，1）…（10分）
∴平面ABCD的法向量为…（11分）
设平面AD1F的法向量为=（x，y，z）．
∵，则有
∴
取z=1，得=（2，1，1）．
∴．…（13分）
∵平面AD1F与平面所成二面角为锐角．
∴平面AD1F与底面ABCD所成二面角的余弦值为．…（14分）