Question

如图，已知椭圆M：，离心率，椭圆与x正半轴交于点A，直线l过椭圆中心O，且与椭圆交于B、C两点，B（1，1）．
（Ⅰ） 求椭圆M的方程；
（Ⅱ）如果椭圆上有两点P、Q，使∠PBQ的角平分线垂直于AO，问是否存在实数λ（λ≠0）使得成立？

Answer

（Ⅰ）由离心率，可得a2=3b2，由点B（1，1）在椭圆上，可得，由此可得椭圆M的方程；
（Ⅱ）设PB、QB的直线方程分别与椭圆方程联立，利用韦达定理，确定P、Q的坐标，从而可得kPQ=kAC，由此可得结论．
【解析】
（Ⅰ）由题意可知，得a2=3b2…（2分）
∵点B（1，1）在椭圆上，∴，∴…（4分）
故椭圆M的方程为：…（4分）
（Ⅱ）由于∠PBQ的平分线垂直于OA，即垂直于x轴，故直线PB的斜率存在，设为k，则QB斜率为-k，因此PB、QB的直线方程分别为y=k （x-1）+1，y=-k （x-1）+1…（6分）
由得（1+3k2）x2-6k（k-1）x+3k2-6k-1=0①
由△＞0，得…（8分）
∵点B在椭圆上，x=1是方程①的一个根，设P（xp，yp），Q（xQ，yQ）
∴，∴，
同理…（10分）
∴kPQ=
∵A（2，0），C（-1，-1）
∴，即：kPQ=kAC，
∴向量，则总存在实数λ使成立．…（13分）