Question

实数列a，a₁，a₂，a₃…，由下述等式定义．
（Ⅰ）若a为常数，求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求依赖于a和n的a_n表达式；
（Ⅲ）求a的值，使得对任何正整数n总有a_n+1＞a_n成立．

Answer

（Ⅰ）利用，代入求解即可；
（Ⅱ）由，得，令，所以，利用叠加法，可得，从而可得结论；
（Ⅲ）先得出，再对进行分类讨论，从而可得结论．
【解析】
（Ⅰ）∵，∴a1=1-3a，a2=-1+9a，a3=7-27a…（2分）
（Ⅱ）由，得…（3分）
令，所以
所以bn=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）=
==
=，…（6分）
所以…（7分）
所以=
=…（8分）
（Ⅲ）∵
=
∴…（10分）
如果，利用n无限增大时，的值接近于零，对于非常大的奇数n，有an+1-an＜0；
如果，对于非常大的偶数n，an+1-an＜0，不满足题目要求．
当时，，于是对于任何正整数n，an+1＞an，因此即为所求．…（13分）