Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n，且-1，n∈N^*，数列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂…，b_n-b_n-1是首项为1，公比为的等比数列．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）若c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）由，知，由此能够证明数列{an}是等差数列．并求出an．
（Ⅱ），，先求数列的前n项和An．由此能求出数列{cn}的前n项和Tn．
（本题满分12分）
解（Ⅰ）∵，
∴
当
=
即（an+an-1）（an-an-1-2）=0，∴an-an-1=2，又a1=1，
故数列{an}是等差数列．且an=2n-1．…（4分）
（Ⅱ）∵…（6分）
∴…（7分）
先求数列的前n项和An．
∵
，
An=3-，
∴，
∴．…（12分）