Question

如图所示，多面体FE-ABCD中，ABCD和ACFE都是直角梯形，DC∥AB，AE∥CF，平面ACFE⊥平面ABCD，AD=DC=CF=2AE=，∠ACF=∠ADC=．
（I）求证：BC⊥平面ACFE；
（II）求二面角B-FE-D的平面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）证明BC⊥AC，利用平面ACFE⊥平面ABCD，且平面ACFE∩平面ABCD=AC，可证BC⊥平面ACFE；
（II）建立空间直角坐标系，利用向量的运算求出平面DEF、平面BEF的一个法向量，进而由两个法向量求出二面角余弦值的大小．
（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，∵，又AD=DC=AB，∴BC⊥AC，…（2分）
又∵平面ACFE⊥平面ABCD，且平面ACFE∩平面ABCD=AC，
∴BC⊥平面ACFE；…（4分）
（Ⅱ）【解析】
以A为原点，分别以AB、AD、AE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

设AE=a，则D（0，2a，0），B（4a，0，0），E（0，0，a），F（2a，2a，2a），…（6分）
设，平面BEF，平面DEF，，
则，令x1=1，∴，
∴…（8分）
由，令y2=1，∴，∴…（9分）
∴，
故所求二面角B-EF-D的平面角的余弦值是．…（12分）