Question

已知向量．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=1，c=，且f（A）恰是f（x）在[0，]上的最大值，求A，b和△ABC的面积．

Answer

（I）根据向量数量积的坐标公式，并且结合三角函数的降次公式和辅助角公式化简，得f（x）=sin（2x+）+2，再结合三角函数的周期公式，即可得到f（x）的最小正周期T；
（II）根据（I）的表达式并且A为锐角，得当A=时，f（x）有最大值3，结合余弦定理和题中数据列式，解出b=1或b=2，最后利用正弦定理可得△ABC的面积．
【解析】
（Ⅰ）∵=（cosx+sinx，-）
∴（）•=cosx（cosx+sinx）+=（1+cos2x）+sin2x+…（2分）
∴f（x）=（1+cos2x）+sin2x+=sin2x+cos2x+2=sin（2x+）+2…（5分）．
∴f（x）的最小正周期T==π．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（A）=sin（2A+）+2
∵A为锐角，＜2A+＜
∴当2A+=时，即A=时，f（x）有最大值3，…（8分）
由余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA，
∴，∴b=1或b=2，…（10分）
∵△ABC的面积S=bcsinA
∴当b=1时，S=×1××sin=；当当b=2时，S=×2××sin=．…（12分）
综上所述，得A=，b=1，S△ABC=或A=，b=2，S△ABC=．