Question

下列四个命题中：①；②；③设x，y都是正数，若=1，则x+y的最小值是12；④若|x-2|＜ε，|y-2|＜ε，则|x-y|＜2ε，则其中所有真命题的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

使用基本不等式时，要注意“一正，二定，三相等”，否则就不成立．另外注意使用含绝对值不等式性质的应用．
【解析】
①只有当a，b≥0，才成立，否则不成立；
②由基本不等式得：=4，当且仅当sin2x=2取等号，但是six2x=2无解，故，因此②成立．
③x+y=（x+y）×1=（x+y）×（）=1+9+≥10+2=10+2×3=16，当且仅当时取等号，故（x+y）min=16，因此③不成立．
④由含绝对值不等式的性质可得：|x-y|=|（x-ɛ）-（y-ɛ）|≤|x-ɛ|+|y-ɛ|＜ɛ+ɛ=2ɛ，故④成立．
综上可知：只有②④是真命题．
故选B．