Question

已知向量，函数f（x）=．
（1）求函数y=f（x）的最小正周期以及单调递增区间；
（2）当时，f（x）有最大值4，求实数t的值．

Answer

（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 2sin（2x+）+t+1，由此求出它的周期，再由 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求出x的范围，即可求得函数的单调递增区间．
（2）当时，≤2x+≤，1≤2sin（2x+）≤2，由此求得t+2≤f（x）≤t+3，再由最大值为4，可得 t+3=4，从而求得t的值．
【解析】
（1）函数f（x）==2cos2x+t+sin2x=1=cos2x+1+t+sin2x=2sin（2x+）+t+1．
故它的最小正周期为 =π．
令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得 kπ-≤x≤kπ+，
故函数的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．
（2）当时，≤2x+≤，∴1≤2sin（2x+）≤2，
∴t+2≤f（x）≤t+3．
由于（x）有最大值4，故 t+3=4，t=1．