Question

甲、乙俩人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为．
（Ⅰ）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望Eξ；
（Ⅱ）求乙至多击中目标2次的概率；
（Ⅲ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．

Answer

（1）由题意得甲击中目标的次数ξ为0、1、2、3，根据独立重复试验公式得到变量对应的概率，当变量为0时表示没有击中目标，当变量为1时表示击中目标1次，当变量为2时表示击中目标2次，当变量为3时表示击中目标3次，写出分布列和期望．
（2）乙至多击中目标2次的对立事件是乙能击中3次，由对立事件的概率公式得到要求的概率．
（3）甲恰比乙多击中目标2次包含甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次和甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次，且这两种情况是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果．
【解析】
（I）由题意得甲击中目标的次数ξ为0、1、2、3，
根据独立重复试验公式得到变量对应的概率，
当变量为0时表示没有击中目标，
当变量为1时表示击中目标1次，
当变量为2时表示击中目标2次，
当变量为3时表示击中目标3次，
∴P（ξ=0）==，
P（ξ=1）==，
P（ξ=2）==，
P（ξ=3）==，
∴ξ的概率分布如下表：

Eξ=O•+1•+2•+3•=1.5，（或Eξ=3•=1.5）；

（II）乙至多击中目标2次的对立事件是乙能击中3次，
有对立事件的概率公式得到
概率为1-=；

（III）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B1，
甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B2，
则A=B1+B2，
B1，B2为互斥事件P（A）=P（B2）=•+•=
∴甲恰好比乙多击中目标2次的概率为．