Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PB⊥面ABC，∠ABC=90°，AB=BC=2，∠PAB=45°，点D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．
（1）求证：EF⊥PD；
（2）求直线PF与平面PBD所成的角的大小；
（3）求二面角E-PF-B的大小．

Answer

（1）连接BD，证明PB⊥平面ABC，从而PD⊥AC，根据E、F分别为AB、BC的中点，可得EF∥AC，从而可得EF⊥PD；
（2）因为面PBD⊥面ABC，故只需过F作BD的垂线，因为EF⊥BD，交点为O，则∠FPO为直线PF与平面PBD所成的角，求解即可；
（3）过B作BM⊥PF于点M，连接EM，证明∠EMB为二面角E-PF-B的平面角，再在直角△PBF中，可求二面角E-PF-B的正切值，从而可得结论．
（1）证明：连接BD
在△ABC中，∠ABC=90°
∵AB=BC，点D为AC的中点，∴BD⊥AC
∵PB⊥平面ABC，∴BD为PD在平面ABC内的射影
∴PD⊥AC
∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF∥AC
∴EF⊥PD；
（2）∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥EF．
连接BD交EF于点O，∵EF⊥PB，EF⊥PD，∴EF⊥平面PBD，
∴∠FPO为直线PF与平面PBD所成的角，EF⊥PO．
∵PB⊥面ABC，∴PB⊥AB，PB⊥BC，又∵∠PAB=45°，
∴PB=AB=2．
在Rt△FPO中，OF==，PF==
∴sin∠FPO==
∴直线PF与平面PBD所成的角为arcsin；
（3）过点B作BM⊥PF于点F，连接EM，
∵AB⊥PB，AB⊥BC，
∴AB⊥平面PBC，即BM为EM在平面PBC内的射影，
∴EM⊥PF，
∴∠EMB为二面角E-PF-B的平面角．
∵Rt△PBF中，BM==
∴tan∠EMB==
∴二面角E-PF-B的大小为arctan．