Question

已知函数f（x）=x²+lnx．
（Ⅰ）求函数f（x）在[1，e]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=x³图象的下方；
（Ⅲ）求证：[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N^*）．

Answer

（1）先求导数，研究函数的极值点，通过比较与端点的大小从而确定出最大最小值．
（2）证明函数f（x）的图象在函数g（x）=x3图象的下方，可采用构造辅助函数的办法，用两函数的差构造一个新的函数，求导分析辅助函数的单调性，得出在给定区间上函数值的符号，继而证出结论．
（3）把要证明结论的左边代式化简，展开二项式，重新组合后运用不等式性质．
【解析】
（Ⅰ）f（x）= ，当x∈[1，e]时，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，e]上为增函数，∴，．
（Ⅱ）设，则 ，
∵x＞1时F′（x）＜0，∴F（x）在[1，+∞）上为减函数，又F（1）=-＜0，故在[1，+∞）上，
F（x）＜0，即，∴函数f（x）的图象在函数g（x）=的图象的下方．
（Ⅲ）∵x＞0，∴．
当n=1时，不等式显然成立，当n≥2时，有+…+
=+…+
=+…+≥…+=2n-2．
∴[f′（x）]n-f′（xn）≥2n-2（n∈N*）．