Question

某市职教中心组织厨师技能大赛，大赛依次设基本功（初赛）、面点制作（复赛）、热菜烹制（决赛）三个轮次的比赛，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，，且各轮次通过与否相互独立．
（I）设该选手参赛的轮次为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅱ）对于（I）中的ξ，设“函数f（x）=3sinπ（x∈R）是偶函数”为事件D，求事件D发生的概率．

Answer

（I）确定ξ可能取值为1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望；
（Ⅱ）分别确定当ξ=1、2、3时，函数f（x）的奇偶性，即可求得事件D发生的概率．
【解析】
（I）ξ可能取值为1，2，3．-------------------------------（2分）
记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，则
P（ξ=1）=P（）=1-=；P（ξ=2）=P（）=P（A）P（）==；
P（ξ=3）=P（AB）=P（A）P（B）==--------------------（5分）
ξ的分布列为：

ξ 1 2 3
P

ξ的数学期望Eξ=1×+2×+3×=------------------------（7分）
（Ⅱ）当ξ=1时，f（x）=3sin（）=3cos，∴f（x）为偶函数；
当ξ=2时，f（x）=3sin（）=-3sin，∴f（x）为奇函数；
当ξ=3时，f（x）=3sin（），∴f（x）为偶函数；
∴事件D发生的概率是．-----------------------------------（12分）