Question

函数f（x）的定义域为R，数列{a_n}满足a_n=f（a_n-1）（n∈N^*且n≥2）．
（Ⅰ）若数列{a_n}是等差数列，a₁≠a₂，且f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1）（k为非零常数，n∈N^*且n≥2），求k的值；
（Ⅱ）若f（x）=kx（k＞1），a₁=2，，数列{b_n}的前n项和为S_n，对于给定的正整数m，如果的值与n无关，求k的值．

Answer

（Ⅰ）当n≥2时，由an=f（an-1），f（an）-f（an-1）=k（an-an-1），得到an+1-an=f（an）-f（an-1）=k（an-an-1）．由此能求出k．
（Ⅱ）因为f（x）=kx，（k＞1），a1=2，且an+1=f（an），所以an+1=kan．故．所以{bn}是首项为ln2，公差为lnk的等差数列．由此入手能够求出实数k．
（本小题共13分）
【解析】
（Ⅰ）当n≥2时，
因为an=f（an-1），f（an）-f（an-1）=k（an-an-1），
所以an+1-an=f（an）-f（an-1）=k（an-an-1）．
因为数列{an}是等差数列，所以an+1-an=an-an-1．
因为 an+1-an=k（an-an-1），所以k=1．…（6分）
（Ⅱ）因为f（x）=kx，（k＞1），a1=2，且an+1=f（an），
所以an+1=kan．
所以数列{an}是首项为2，公比为k的等比数列，
所以．
所以bn=lnan=ln2+（n-1）lnk．
因为bn-bn-1=lnk，
所以{bn}是首项为ln2，公差为lnk的等差数列．
所以 Sn==n[ln2+]．
因为
=，
又因为的值是一个与n无关的量，
所以=，
解得k=4．…（13分）