Question

已知函数．（a∈R）．
（I）当a=0时，求曲线y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程（e=2.718…）；
（II）求函数f（x）的单调区间．

Answer

（I）将a=0代入，对函数f（x）进行求导得到切线的斜率k=f′（e），切点为（e，f（e）），根据点斜式即可写出切线方程；
（II）由题意知先求导数，f（x）在（1，e]内单调性．下面对a进行分类讨论：①当a≤0时，②当时，③当时，④当时，由此可知f（x）的单调增区间和单调递减区间；
【解析】
（ I）当a=0时，f（x）=x-xlnx，f'（x）=-lnx，…（2分）
所以f（e）=0，f'（e）=-1，…（4分）
所以曲线y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程为y=-x+e．…（5分）
（ II）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（6分）
①当a≤0时，2ax-1＜0，在（0，1）上f'（x）＞0，在（1，+∞）上f'（x）＜0
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上递减； …（8分）
②当时，在（0，1）和上f'（x）＞0，在上f'（x）＜0
所以f（x）在（0，1）和上单调递增，在上递减；…（10分）
③当时，在（0，+∞）上f'（x）≥0且仅有f'（1）=0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；                …（12分）
④当时，在和（1，+∞）上f'（x）＞0，在上f'（x）＜0
所以f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上递减…（14分）