Question

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，则log₂₀₁₂X₁+log₂₀₁₂X₂+…+log₂₀₁₂X₂₀₁₁的值为    ．

Answer

由题意可得P（1，1），f′（x）=（n+1）xn，根据导数的几何意义可求切线的斜率k，进而可求切线方程，切线方程，在方程中，令y=0可得，xn=，利用累乘可求x1x2…x2011=，代入可求出答案．
【解析】
由题意可得P（1，1）
对函数f（x）=xn+1求导可得，f′（x）=（n+1）xn
∴y=f（x）在点P处的切线斜率K=f′（1）=n+1，切线方程为y-1=（n+1）（x-1）
令y=0可得，xn=
∴x1x2…x2011==
∴log2012x1+log2012x2+…+log2012x2011=log2012（x1x2…xn）
=log2012 =-1
故答案为：-1