Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）若直线l不过点M，试问k_MA+k_MB是否为定值？并说明理由．

Answer

（Ⅰ）设出椭圆方程的标准形式，由离心率的值及椭圆过点（4，1）求出待定系数，得到椭圆的标准方程；
（Ⅱ）把直线方程代入椭圆的方程，由判别式大于0，求出m的范围；
（Ⅲ）由方程可得到两根之和、两根之积，从而可求直线MA，MB斜率之和，化简可得结论．
【解析】
（Ⅰ）∵，∴，-----------------------------------------------------（2分）
依题意设椭圆方程为：
把点（4，1）代入，得b2=5
∴椭圆方程为---------------------------------------------------（4分）
（Ⅱ）把y=x+m代入椭圆方程得：5x2+8mx+4m2-20=0，
由△＞0可得64m2-20（4m2-20）＞0
∴-5＜m＜5---------------------------------------------------（6分）
（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，-----------------------（8分）
∴kMA+kMB=+==0，
∴kMA+kMB为定值0．------------------（12分）