Question

已知函数f（x）=lnx²-，（a∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的递增区间；
（Ⅱ）当a=1时，过点P（0，t）（t∈R）作曲线y=f（x）的两条切线，设两切点为P1（x₁，f（x₁）），P₂（x₂，f（x₂））（x₁≠x₂），求证：x₁+x₂=0．

Answer

（Ⅰ）先求出f（x）的定义域，求出f′（x），分三种情况a=0，a＞0，a＜0，由f′（x）＞0得到函数的增区间；由f′（x）＜0得到函数的减区间即可；
（Ⅱ）把a=1代入到导函数中得到f′（x），则两条切线的斜率分别为和，又因为切线过p（0，t），所以写出两条切线的方程，化简得到x12=x22．因为x1≠x2所以得证．
【解析】
（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）．
f′（x）=-=．
当a=0时，由f′（x）=＞0，解得x＞0；
当a＞0时，由f′（x）=＞0，解得0＜x＜；
当a＜0时，由f′（x）=＞0，解得x＞0，或x＜．
所以当a=0时，函数f（x）的递增区间是（0，+∞）；
当a＞0时，函数f（x）的递增区间是（0，）；
当a＜0时，函数f（x）的递增区间是（-∞，）∪（0，+∞）．
（Ⅱ）因为f′（x）=-=，
所以以p1（x1，f（x1））为切点的切线的斜率为；
以p2（x2，f（x2））为切点的切线的斜率为．
又因为切线过点p（0，t），
所以；．
解得，x12=et+2，x22=et+2．则x12=x22．
由已知x1≠x2
所以，x1+x2=0．