Question

如图，在多面体ABC-A₁B₁C₁中，四边形A₁ABB₁是正方形，AB=AC，BC=AB，B₁C₁，二面角A₁-AB-C是直二面角．
（I）求证：A₁B₁⊥平面AA₁C； 
（II）求证：AB₁∥平面 A₁C₁C；
（II）求BC与平面A₁C₁C所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）根据勾股定理的逆定理，可得AB⊥AC，又因为四边形A1ABB1是正方形，所以AB⊥AA1，从而得到AB⊥平面AA1C，再证AB∥A1B1，可得A1B1⊥平面AA1C；
（Ⅱ）取BC中点D，连接AD，B1D，C1D．证明四边形B1C1DB是平行四边形，可得C1D∥B1B，进而可证AD∥平面A1C1C；同理，B1D∥平面A1C1C，利用面面平行的判定，可得平面ADB 1∥平面A1C1C，从而可得AB1∥平面A1C1C；         
（Ⅲ）建立如图坐标系，设AB=2，确定平面A1C1C的一个法向量，又，根据向量的夹角公式，可得BC与平面A1C1C所成角的正弦值．
（Ⅰ）证明：因为AB=AC，BC=AB，所以AB2+AC2=BC2，所以AB⊥AC，
又因为四边形A1ABB1是正方形，所以AB⊥AA1，
又因为AC、AA1⊂平面AA1C，AC∩AA1=A
所以AB⊥平面AA1C；
又因为四边形A1ABB1是正方形，所以AB∥A1B1，
所以A1B1⊥平面AA1C；       …（4分）

（Ⅱ）证明：取BC中点D，连接AD，B1D，C1D．
∵B1C1∥BC且B1C1=，D为BC中点
∴B1C1∥DB且B1C1=DB，
∴四边形B1C1DB是平行四边形，可得C1D∥B1B
又A1A∥B1B且A1A=B1B，A1A∥C1D且A1A=C1D，
所以，A1ADC1是平行四边形
所以，A1C1∥AD，所以AD∥平面A1C1C；
同理，B1D∥平面A1C1C；
又因为B1D∩AD=D，所以平面ADB 1∥平面A1C1C；
所以AB1∥平面A1C1C；         …（8分）
（Ⅲ）【解析】
由（Ⅰ）AB⊥平面AA1C，又二面角A1-AB-C是直二面角，可知，AA1，AC，AB两两互相垂直，建立如图2示坐标系，设AB=2，则A（0，0，0），B（0，2，0），A1（0，0，2），C（2，0，0），C1（1，1，2）
所以．
设平面A1C1C的一个法向量为
由得，∴，∴
又，所以cos＜＞===-
 故BC与平面A1C1C所成角的正弦值为．…（12分）