Question

已知圆C的圆心为C（m，0），m＜3，半径为，圆C与离心率e＞的椭圆（a＞b＞0）的其中一个公共点为A（3，l），F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（I）求圆C的标准方程；
（II）若点P的坐标为（4，4），试探究直线PF₁与圆C能否相切？若能，设直线PF₁与椭圆E相交于A，B两点，求△ABF₂的面积；若不能，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）由已知可设圆C的方程，把点A的坐标代入圆C的方程，可求m，进而可求圆的方程
（Ⅱ）设直线PF1的方程，由直线PF1与圆C相切的性质，利用点到直线的距离公式可求k，进而求出椭圆的焦点，利用椭圆的定义得：2a=AF1+AF2求出a，结合e可求c，即可求出椭圆方程，直线PF1的方程，联立方程，结合方程的根与系数关系代入=4|y1-y2|=4可求
【解析】
（Ⅰ）由已知可设圆C的方程为（x-m）2+y2=5（m＜3）
将点A的坐标代入圆C的方程，得（3-m）2+1=5，
解得m=1或m=5．
∵m＜3，
∴m=1．
∴圆C的方程为（x-1）2+y2=5．…（4分）
（Ⅱ）直线PF1能与圆C相切，
依题意设直线PF1的方程为y=k（x-4）+4，即kx-y-4k+4=0
若直线PF1与圆C相切，则．
∴4k2-24k+11=0，解得k=或k=．…（7分）
当k=时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．
当k=时，直线PF1与x轴的交点横坐标为-4，
∴c=4，，F1（-4，0），F2（4，0）
∴由椭圆的定义得：2a=AF1+AF2==
∴a=3，即a2=18，
∴e==，
故直线PF1能与圆C相切．…（10分）
直线PF1的方程为x-2y+4=0，椭圆E的方程为．
把直线方程代入椭圆方程并化简得，13y2-16y-2=0．
故=4|y1-y2|=4
==．…（12分）