Question

已知函数f（x）=ax+xlnx，且图象在点（，f（））处的切线斜率为自然对数的底数．
（I）求实数a的值；
（II）设g（x）=，求g（x）的单调区间；
（III）当m＞n＞1（m，n∈Z）时，证明：．

Answer

（Ⅰ）由f（x）=ax+xlnx，知f′（x）=a+1+lnx，依题意=a，由此能求出a．
（Ⅱ）因为g（x）==，所以．设∅（x）=x-1-lnx，则∅′（x）=1-，由此能求出g（x）的单调区间．
（Ⅲ）要证，即证，即，，由此能够证明．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=ax+xlnx，∴f′（x）=a+1+lnx，
依题意=a=1，所以a=1．…（2分）
（Ⅱ）因为，g（x）=，
g（x）==，所以．
设∅（x）=x-1-lnx，
则∅′（x）=1-．…（4分）
当x＞1时，∅′（x）=1-＞0，∅（x）是增函数．
对∀x＞1，∅（x）＞∅（1）=0，
即当x＞1时，g′（x）＞0，
故g（x）在（1，+∞）上为增函数，…（6分）
当0＜x＜1时，∅′（x）=1-＜0．∅（x）是减增函数．
对∀x∈（0，1），∅（x）＞∅（1）=0，
即当0＜x＜1时，g′（x）＞0，
故g（x）在（0，1）上为增函数，
所以，g（x）的单调增区间为（0，1），（1，+∞）．…（8分）
（Ⅲ）要证，即证，
即，．…（10分），
因为m＞n＞1，由（2）知，g（m）＞g（n），
所以．…（12分）