Question

定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=kx+b（k，b为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，则称g（x）为函数f（x）的一个承托函数、现有如下命题：
①对给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②g（x）=2x为函数f（x）=2^x的一个承托函数；③定义域和值域都是R的函数f（x）不存在承托函数．
下列选项正确的是（ ）
A．①
B．②
C．①③
D．②③

Answer

对于①，若取f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜-1），都满足，且有无数个，故错；
对于②，即x=时，②错；
对于③，如取f（x）=2x+3，即可看出其不符合，故错．
抽象的背后总有具体的模型，我们可以通过具体的函数的研究，进行合理地联想．
【解析】
对于①，若f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜-1），
就是它的一个承托函数，且有无数个，再如y=tanx，y=lgx就没有承托函数，∴命题①正确、
对于②，∵当x=时，g=3，f=2=，
∴f（x）＜g（x），
∴g（x）=2x不是f（x）=2x的一个承托函数，故错误；
对于③如f（x）=2x+3存在一个承托函数y=2x+1，故错误；
故选A．