Question

在△ABC中，已知A（0，1），B（0，-1），AC、BC两边所在的直线分别与x轴交于E、F两点，且=4．
（1）求点C的轨迹方程；
（2）若，
①试确定点F的坐标；
②设P是点C的轨迹上的动点，猜想△PBF的周长最大时点P的位置，并证明你的猜想．

Answer

（1）设出C的坐标，利用向量共线的充要条件及向量的数量积公式，列出关于点C的坐标的方程化简即得到得到点C的轨迹方程；
（2）①设出F的坐标，根据已知条件，得到点F与点C的关系，表示出C的坐标，将其代入（1）中求出的方程得到F的坐标．
②先猜想当P点位于直线BF1与椭圆的交点处时，△PBF周长最大，然后利用椭圆的定义加以证明．
【解析】
（1）如图，设点C（x，y）（x≠0），E（xE，0），F（xF，0），由A，C，F三点共线，，
xE=．
同理，由B、C、F三点共线可得xF=．
∵=4，
∴xE•xF==4．
化简，得点C的轨迹方程为x2+4y2=4（x≠0）．
（2）若，
①设F（xF，0），C（xC，yC），
∴⇒（xc，yc+1）=-8（xF-xc，yc）．
∴xc=，yC=．
代入x2+4y2=4，得xF=±．
∴F（±，0），即F为椭圆的焦点．
②猜想：取F（，0），设F1（-，0）是左焦点，
则当P点位于直线BF1与椭圆的交点处时，△PBF周长最大，最大值为8．
证明如下：|PF|+|PB|=4-|PF1|+|PB|≤4+|BF1|，
∴△PBF的周长≤4+|BF1|+|BF|≤8．