Question

已知数列{a_n}是首项a₁=a，公差为2的等差数列，数列{b_n}满足2b_n=（n+1）a_n；
（1）若a₁、a₃、a₄成等比数列，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若对任意n∈N^*都有b_n≥b₅成立，求实数a的取值范围；
（3）数列{c_n}满足 ，其中c₁=1，f（n）=b_n+c_n，当a=-20时，求f（n）的最小值（n∈N^*）．

Answer

（1）根据a1、a3、a4成等比数列，建立等式关系，可求出a的值，从而求出数列{an}的通项公式；
2）根据题意数列{an}是等差数列可得其通项公式为an=2n+（a-2），进而得到bn的表达式，是一个关于n的二次式，结合二次函数的性质解决问题即可．
【解析】
（1）因为a1、a3、a4成等比数列，所以a1•a4=a32，即a•（a+6）=（a+4）2，a=-8．
所以an=-8+（n-1）×2=2n-10…（4分）
（2）由2bn=（n+1）an，=，…（6分）
由题意得：，-22≤a≤-18…（10分）
（3）因为，
所以cn=c1+（c2-c1）+（c3-c2）+…+（cn-cn-1）==…（13分）
所以f（n）=bn+cn=，
则，=…（14分）
所以当k＞10时，
即f（5）＜f（6）＜…＜f（n）＜…（15分）
所以当1≤n≤4时，
即f（1）＞f（2）＞f（3）＞f（4）…（16分）

所以 f（5）-f（4）＜0，所以…（18分）