Question

圆x²+y²=8内有一点P（-1，2），AB为过点P但不与x轴垂直的弦，O为坐标原点．则的取值范围    ．

Answer

设直线AB方程为y-2=k（x+1），将它与圆方程消去y得关于x的方程，由一元二次方程根与系数关系得x1+x2=，x1x2=，再结合直线方程算出y1y2=．由此得到=x1x2+y1y2=-6+，利用导数工具讨论关于k的函数的单调性与最值，即可得到的取值范围．
【解析】
设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y-2=k（x+1）．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则由消去y，
得（1+k2）x2+（2k2+4k）x+k2+4k-4=0
∴x1+x2=，x1x2=
可得y1y2=[k（x1+1）+2][k（x2+1）+2]=k2x1x2+（k+2）（x1+x2）+（k+2）2=．
从而有=x1x2+y1y2=+=-6+
设F（k）=，则F'（k）==-
∴当k＜-2或k＞时，F'（k）＜0；当-2＜k＜时，F'（k）＞0
函数F（k）在（-∞，-2）和（，+∞）上是减函数，在（-2，）上是增函数；
由此可得F（k）的最小值为它的极小值F（-2）=-2，最大值是它的极大值F（）=8
∴=-6+的最小值为-8，最小值为2
即的取值范围为[-8，2]
故答案为：[-8，2]