Question

某学校为了研究学情，从高三年级中抽取了20名学生三次测试的数学成绩和物理成绩，计算出了他们三次成绩的平均名次如下表：

学生序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
数    学	1.3	12.3	25.7	36.7	50.3	67.7	49.0	52.0	40.0	34.3
物    理	2.3	9.7	31.0	22.3	40.0	58.0	39.0	60.7	63.3	42.7
学生序号	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
数    学	78.3	50.0	65.7	66.3	68.0	95.0	90.7	87.7	103.7	86.7
物    理	49.7	46.7	83.3	59.7	50.0	101.3	76.7	86.0	99.7	99.0

学校规定平均名次小于或等于40.0者为优秀，大于40.0者为不优秀．
（1）对名次优秀者赋分2，对名次不优秀者赋分1，从这20名学生中随机抽取2名，用ξ表示这两名学生数学科得分的和，求ξ的分布列和数学期望；
（2）根据这次抽查数据，是否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩优秀与否和数学成绩优秀与否有关系？（下面的临界值表和公式可供参考：

P（K^2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=，其中n=a+b+c+d）

Answer

（1）根据条件ξ的取值为2，3，4，分别求出P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4）．由此能求出ξ的分布列和数学期望Eξ．
（2）根据条件列出列联表，求出K2和P（K2≥5.024）=0.025，因此根据这次抽查数据在犯错误的概率不超过0.025的前提下，可以认为物理成绩优秀与否和数学成绩优秀与否有关系．
【解析】
（1）根据条件ξ的取值为2，3，4，
而且在20人中，数学成绩优秀的6人，不优秀的14人，所以有
P（ξ=2）==，
P（ξ=3）==，
P（ξ=4）==．
所以ξ的分布列为

ξ 2 3 4
P

（6分）
数学期望Eξ=2×+3×+4×=2.6．（8分）
（2）根据条件列出列联表如下：

物理优秀 物理不优秀 合计
数学优秀 4 2 6
数学不优秀 2 12 14
合计 6 14 20

所以≈5.4875＞5.024．
又P（K2≥5.024）=0.025，
因此根据这次抽查数据在犯错误的概率不超过0.025的前提下，
可以认为物理成绩优秀与否和数学成绩优秀与否有关系．（12分）