Question

已知函数f（x）=（b∈R）．
（1）是否存在实数b，使得f（x）在（0，）上为增函数，在（，π）上为减函数？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由．
（2）如果当x≥0时，都有f（x）≤0恒成立，试求b的取值范围．

Answer

（1）对函数f（x）=求导，若存在实数b，使得f（x）在（0，）上为增函数，在（，π）上为减函数，则，由此可得结论；
（2）令，得-bcos2x+2（1-2b）cosx+1-4b=0，再分类讨论，利用当x≥0时，都有f（x）≤0恒成立，即可试求b的取值范围．
【解析】
（1）存在b=0，使得结论成立．
对函数f（x）=求导得．
若存在实数b，使得f（x）在（0，）上为增函数，在（，π）上为减函数，则，
∴b=0，这时，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x∈（，π）时，f′（x）＜0，f（x）递减．
（2）令，
得-bcos2x+2（1-2b）cosx+1-4b=0．
∴△=4（1-2b）2+4b（1-4b）=4（1-3b）．
若b≥，即△≤0，则f′（x）≤0对x≥0恒成立，这时f（x）在[0，+∞）上递减，
∴f（x）≤f（0）=0，符合题意．
若b＜0，则当x≥0时，-bx∈[0，+∞），，f（x）=不可能恒小于等于0．
若b=0，则f（x）=，不合题意．
若0＜b＜，则f′（0）=＞0，f′（π）=-b-1＜0，∴∃x∈（0，π），使f′（x）=0．
x∈（0，x）时，f′（x）＞0，这时f（x）递增，f（x）＞f（0）=0，不合题意．
综上可得实数b的取值范围是[）．