Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点M在棱AB上，AM=，点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线A₁D₁的距离与点P到M的距离的平方差为，则P点的轨迹是    ．

Answer

以A为原点，AB、AA1分别为y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系，得M（0，，0）．设P（x，y，0），用空间两点的距离公式，结合题意列出关于x、y的方程，化简整理得抛物线方程：x2=y，即得本题的答案．
【解析】
以A为原点，AB、AA1分别为y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系
则M（0，，0），设P（x，y，0），
设PR⊥A1D1于R，则PR是点P到直线A1D1的距离
PR2=y2+1，PM2=x2+（y-）2，
由题意，得PR2-PM2=y2+1-[x2+（y-）2]=
化简，得x2=y，
故P的轨迹是以A为顶点，AB为轴的抛物线
故答案为：抛物线