Question

为了了解某年级1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）；…；第五组[17，18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3：8：19，且第二组的频数为8．
（1）请估计该年级学生中百米成绩在[16，17）内的人数；
（2）求调查中共随机抽取了多少个学生的百米成绩；
（3）若从第一、五组中随机取出两个学生的成绩，记为m，n，若m，n都在区间[13，14]上，则得4分，若m，n都在区间[17，18]上，则得2分，否则得0分，用X表示得分，求X的分布列并计算期望．

Answer

（1）由题意知，百米成绩在[16，17]内的频率为0.32×1=0.32，由此能估计该年级学生中百米成绩在[16，17）内的人数．
（2）设图中从左到右前三组的频率分别为3x，8x，19x，依题意得3x+8x+19x+0.32×1+0.08×1=1，由此能求出调查中共随机抽取了多少个学生的百米成绩．
（3）成绩在[13，14]内的有3人，成绩在[17，18]内的有4人，X的取值可能为0，2，4，分别求出P（X=0），P（X=2），P（X=4），由此能求出X的分布列并计算期望．
【解析】
（1）由题意知，百米成绩在[16，17]内的频率为0.32×1=0.32，
0.32×1000=320，
∴估计该年级学生中百米成绩在[16，17）内的人数为320人．
（2）设图中从左到右前三组的频率分别为3x，8x，19x，
依题意得3x+8x+19x+0.32×1+0.08×1=1，
解得x=0.02，
设调查中随机抽取了n名学生的百米成绩，
则8×0.02=，
∴n=50，
∴调查中共随机抽取了50个学生的百米成绩．
（3）成绩在[13，14]内的有3人，成绩在[17，18]内的有4人，X的取值可能为0，2，4，
P（X=0）==，
P（X=2）==，
P（X=4）==，
∴X的分布列为

 X  0 2 4 
 P      

∴EX=0×+2×+4×=．