Question

在数列{a_n}，{b_n}，a₁=2，a_n+1-a_n=6n+2，若在y=x²+mx的图象上，{b_n}的最小值为b₂．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求m的取值范围．

Answer

（1）根据数列递推式，利用叠加法，可得{an}的通项公式；
（2）确定{bn}的通项公式，计算前3项，利用{bn}的最小值为b2，求m的取值范围，并说明数列从第2项起是递增的，可得结论．
【解析】
（1）∵an+1-an=6n+2，a1=2，
∴an=a1+（a2-a1）+…+（an-an-1）=2+8+…+（6n-4）=3n2-n；
（2）∵在y=x2+mx的图象上，
∴bn=（3n-1）2+m（3n-1）
∴b1=4+2m，b2=25+5m，b3=64+8m
∵{bn}的最小值为b2，
∴
∴-13≤m≤-7
∵bn+1-bn=3（m+6n-1）
∴n≥3时，bn+1-bn＞0，∴bn+1＞bn，即数列从第2项起是递增的，
综上可得，-13≤m≤-7．