Question

给出若干数字按如图所示排成三角形，其中最后一行各数依次是1，2，3，…，n，从倒数第二行起直到第一行，每个数分别等于下一行左、右两数之和，第一行只有一个数M，这个数M叫n阶“金字数”，当n=2013时，“金字数”M为（ ）

A．2011×2²⁰¹¹
B．2012×2²⁰¹⁰
C．2013×2²⁰¹¹
D．2014×2²⁰¹¹

Answer

法一：设倒数第一，二，三，四行的数列分别为{an}，{bn}，{cn}，{dn}，则有b1+bn-1=2（a1+an）；c1+cn-2=22（a1+an）；d1+dn-3=23（a1+an），如此可得规律，即可得到结论；
法二：观察数表，可以发现规律：每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2010行公差为22009，第2011行只有M，得出M；
法三：从第一行为1，2，3 和1，2，3，4，5的两个“小三角形”的例子，结合选项归纳得出结果，猜测出M．
【解析】
法一：设倒数第一，二，三，四行的数列分别为{an}，{bn}，{cn}，{dn}，则有
b1+bn-1=（a1+a2）+（an-1+an）=2（a1+an）；c1+cn-2=（b1+b2）+（bn-2+bn-1）=22（a1+an）；
d1+dn-3=（c1+c2）+（cn-3+cn-2）=23（a1+an），
如此规律下去，当n=2013时，第2行的首尾两数之和为22011（a1+an）=2014×22011，即M=2014×22011．
故选D
法二：最后一行公差为1；倒数第二行公差为2；…；第2行公差为22011，第1行只有M，发现规律，得M=（1+2013）×22011=2014×22011．
故选D
法三：从最后一行为1，2，3 及1，2，3，4，5的两个“小三角形”结合选项归纳得结果为（3+1）×21及（5+1）×23，猜一般为（n+1）×2n-2．
当n=2013时，“金字数”M=2014×22011．
故选D．