Question

如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=．
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（3）求二面角O-AC-D的大小．

Answer

（1）设O是等腰直角三角形ABD斜边BD的中点，通过正三角形，以及计算证明AO⊥CO，从而证明AO⊥平面BCD；
（2）利用三面角公式直接求异面直线AB与CD所成角的大小的余弦，然后求出角的大小；
（3）利用射影面的面积与被射影面的面积的比，求二面角O-AC-D的大小．
【解析】
（1）设O是等腰直角三角形ABD斜边BD的中点，
所以有AO⊥BD，可求得AO=1，CO=，又有AC=2
所以∠AEC=90°，即AO⊥CO
BD，CO是平面BCD内两条相交直线，故有AO⊥平面BCD．

（2）由（1）可知BD⊥面AOC，
所以面BCD⊥面AOC，AO=1，CO=，AC=2
A点在BCD面内的投影为O，
cos＜AB，CD＞=cos∠ABD•cos∠BDC==
异面直线AB与CD所成角的大小：arccos．

（3）三角形AOC的面积为：=；三角形ADC的面积为：=；
所以二面角O-AC-D的大小余弦为：
二面角O-AC-D的大小：arccos