Question

已知a＞0且a≠1，数列{a_n}中，a₁=a，（n∈N^*），令b_n=a_n•log₂a_n．
（1）若a=2，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（2）若b_n+1＞b_n，n∈N^*，求a的取值范围．

Answer

（1）数列{an}是首项为a、公比为a的等比数列，从而可得数列{an}、{bn}的通项，利用错位相减法，可求数列的和；
（2）bn+1＞bn，等价于（n+1）an+1•log2a＞nan•log2a，对a分类讨论，即可确定a的取值范围．
【解析】
（1）∵a1=a，（n∈N*），
∴数列{an}是首项为a、公比为a的等比数列，
∴
∴bn=an•log2an=an•log2an=nan•log2a．
∵a=2，
∴bn=n•2n•log22=n•2n，
∴Sn=1×21+2×22+…+n•2n，
∴2Sn=1×22+…+n•2n+1，
两式相减可得-Sn=21+22+…+2n-n•2n+1，
∴-Sn=-2-（n-1）•2n+1，
∴Sn=2+（n-1）•2n+1；
（2）∵bn+1＞bn，
∴（n+1）an+1•log2a＞nan•log2a．
当a＞1时，log2a＞0，∴（n+1）a＞n，∴a＞，
∵，而a＞1，
∴a＞1时，a＞成立，即bn+1＞bn．
当0＜a＜1时，log2a＜0，∴（n+1）a＜n，∴a＜，
∵单调递增，
∴n=1时，=
∴0＜a＜时，a＜成立，即即bn+1＞bn．
综上得，a的取值范围是（0，）∪（1，+∞）．