Question

（Ⅰ）设函数，证明：当x＞0时，f（x）＞0．
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：．

Answer

（Ⅰ）欲证明当x＞0时，f（x）＞0，由于f（0）=0利用函数的单调性，只须证明f（x）在[0，+∞）上是单调增函数即可．先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递减即可得到答案．
（Ⅱ）先计算概率P=，再证明，即证明99×98×…×81＜（90）19，最后证明＜e-2，即证＞e2，即证19ln＞2，即证ln，而这个结论由（1）所得结论可得
（Ⅰ）证明：∵f′（x）=，
∴当x＞-1，时f′（x）≥0，
∴f（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，
∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0．
即当x＞0时，f（x）＞0．
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取20次，则抽得的20个号码互不相同的概率为P=，要证P＜＜．
先证：P=＜，即证＜
即证99×98×…×81＜（90）19
而99×81=（90+9）×（90-9）=902-92＜902
98×82=（90+8）×（90-8）=902-82＜902…
91×89=（90+1）×（90-1）=902-12＜902
∴99×98×…×81＜（90）19
即P＜
再证：＜e-2，即证＞e2，即证19ln＞2，即证ln＞
由（Ⅰ）f（x）=ln（1+x）-，当x＞0时，f（x）＞0．
令x=，则ln（1+）-=ln（1+）-＞0，即ln＞
综上有：P＜＜