Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=，试求△ABC周长l的范围．

Answer

（Ⅰ）由题意得：2bcosB=acosC+c•cosA，再由正弦定理化简可得cosB=，由此求得B的值．
（Ⅱ）由（1）知 2R==2 故 l=a+b+c=b+（a+c）=+2sin（A+）．再由 A∈（0，），可得 A+∈（，），sin（A+）∈（，1]，由此得到l的范围．
【解析】
（Ⅰ）由题意得：2bcosB=acosC+c•cosA，再由正弦定理可得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，
∴cosB=，故B=．
（Ⅱ）由（1）知 2R==2  故 l=a+b+c=b+（a+c）=+2R（sinA+sinC）=+2[sinA+sin（A+）]=+2sin（A+）．
再由 A∈（0，），∴A+∈（，），
∴sin（A+）∈（，1]，
∴l=+2sin（A+）∈（2，3]．