Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱DD₁的中点．
（Ⅰ）证明：平面ADC₁B₁⊥平面A₁BE；
（Ⅱ）在棱C₁D₁上是否存在一点F，使B₁F∥平面A₁BE？证明你的结论．

Answer

（I）由B1C1⊥平面AA1B1B，得B1C1⊥A1B．结合正方形AA1B1B中，A1B⊥AB1，可得A1B⊥平面ADC1B1．最后根据面面垂直的判定定理，得到平面ADC1B1⊥平面A1BE；
（II）设AB1∩A1B=O，取C1D1中点F，连接OE、EB、B1F．根据三角形中位线定理，得EF∥C1D且EF=C1D，平行四边形AB1C1D中，有B1O∥C1D且B1O=C1D，从而得到EF∥B1O且EF=B1O，四边形BEF∥B1OEF为平行四边形，B1F∥OE，所以B1F∥平面A1BE，即存在C1D1中点F，使B1F∥平面A1BE．
【解析】
（Ⅰ）∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，∴B1C1⊥平面AA1B1B；
∵A1B⊆平面AA1B1B，∴B1C1⊥A1B．                 …（2分）
又∵正方形AA1B1B中，A1B⊥AB1，且B1C1、AB1是平面ADC1B1内的相交直线
∴A1B⊥平面ADC1B1．…（4分）
∵A1B⊆平面A1BE，∴平面ADC1B1⊥平面A1BE．…（6分）
（Ⅱ）当点F为C1D1中点时，可使B1F∥平面A1BE．…（7分）
证明如下：
∵△C1D1D中，EF是中位线，∴EF∥C1D且EF=C1D，…（9分）
设AB1∩A1B=O，则平行四边形AB1C1D中，B1O∥C1D且B1O=C1D，
∴EF∥B1O且EF=B1O，
∴四边形BEF∥B1OEF为平行四边形，B1F∥OE．…（11分）
∵B1F⊈平面A1BE，OE⊆平面A1BE，
∴B1F∥平面A1BE                                  …（13分）