Question

已知椭圆（a＞b＞0）右顶点到右焦点的距离为，短轴长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若线段AB的长为，求直线AB的方程．

Answer

（Ⅰ）由椭圆（a＞b＞0）右顶点到右焦点的距离为，短轴长为，建立方程组，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，|AB|=，不符合题意；当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y，利用韦达定理计算|AB|，结合线段AB的长为，即可求得k的值，从而可得直线AB的方程．
【解析】
（Ⅰ）由题意，，解得a=，c=1．
∴椭圆方程为------------（4分）
（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，|AB|=，不符合题意故舍掉；-----------（6分）
当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），
代入消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2-6）=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=-----------（8分）
所以|AB|=，------------（11分）
∵线段AB的长为，
∴=
∴k2=2
∴k=，------------（13分）
所以直线AB的方程为：或．---------（14分）