Question

已知函数（b、c为常数）．
（1）若f（x）在x=1和x=3处取得极值，试求b，c的值；
（2）若f（x）在（-∞，x₁）、（x₂，+∞）上单调递增，且在（x₁，x₂）上单调递减，又满足x₂-x₁＞1．求证：b²＞2（b+2c）．

Answer

（1）已知函数f（x），对其进行求导，因为若f（x）在x=1和x=3处取得极值，可知1、3是方程f′（x）=0的两根，从而求出m和n；
（2）题意知，当x∈（-∞，x1）、（x2，+∞）时，f'（x）＞0；当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，再根据韦达定理进行证明；
【解析】
（1）∵函数（b、c为常数），
∴f'（x）=x2+（b-1）x+c
据题意知1、3是方程x2+（b-1）x+c=0的两根，
∴1-b=1+3=4，c=1×3=3，
即b=-3，c=3
（2）由题意知，当x∈（-∞，x1）、（x2，+∞）时，f'（x）＞0；
当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0
∴
则x1+x2=1-b，x1x2=c
∴b=1-（x1+x2），c=x1x2
∴b2-2（b+2c）=b2-2b-4c==
∵x2-x1＞1，
∴，
∴b2＞2（b+2c）