Question

已知函数f（x）=．
（Ⅰ）求函数f（）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间．

Answer

由f（x）解析式中分母不为0，求出x的范围，即为函数的定义域，并将函数解析式分子利用二倍角的余弦函数公式化简，分母利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，约分后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，
（Ⅰ）将x=代入化简后的解析式中，利用特殊角的三角函数值即可求出f（）的值；
（Ⅱ）根据正弦函数的单调递减区间及函数的定义域，列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到函数的递减区间．
【解析】
由sin（-x）≠0，得x-≠kπ（k∈Z），即x≠kπ+（k∈Z），
∴函数f（x）定义域为{x|x≠kπ+（k∈Z）}，
f（x）===cosx+sinx=sin（x+），
（Ⅰ）f（）=sin（+）=sin=；
（Ⅱ）令2kπ+＜x+＜2kπ+（k∈Z），
得2kπ+＜x＜2kπ+（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递减区间为（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）．